Basis vector & vector의 합이 어떤 뜻?

Vector의 구성요소

백터를 생각할 때 각각의 coordinate(백터안의 값)를 스칼라 값으로 생각! ➡️ 얼마나 늘리고 줄일지를 정함(scaling의 정도를 알려줌)

basis_vector: 특정 방향에서 크기의 기준이 되는 vector(scaling에 대상이 되는 값!)

이러한 basis vector + coordinate값(scalar!)을 합쳐서 생각해보면 이는 방향은 basis vector로, 크기는 scalar로 생각할 수 있음!
두 백터의 합은 사실 i백터 뱡향으로 a만큼 가고, 거기서 j백터 방향으로 b만큼 간거고 생각을 하면 된다

basis vector가 n차원에서 n개의 vector를 가진다면 n차원의 모든 백터를 표현가능함!!! 이때 어떤 수치로 백터를 표현할 때 우리는 암묵적으로 (우리도 모른채) basis vector을 골라서 표현한 것이다.

두개의 basis vector을 scaling하고 난 후 더하는 것을 linear combination이라고 말할 수 있다.

왜 하필 “Linear”일까?

두 scalar을 모두 움직일 수 있을때

주어진 두 백터 쌍의 조합으로 도달할 수 있는 공간(백터들의 집합)이 바로 span이다.

백터의 집합을 다룰때= 백터 하나를 공간상 하나의 점이라고 생각!

백터의 끝이 각각의 점!(꼬리는 원점에 있다고 생각)
1차원에서는 선이 2차원에서는 평면 그 자체로 생각이 됨(vector로 모든 곳을 갈 수 있으므로 모든 곳이 점으로 채워진 평면이 되는 것이다)

백터 하나를 다룰 때 = 그냥 화살표라고 생각!

다시 돌아와서 1) 2차원 공간에서는 Span이 하나의 평면이 되는것이고(백터의 집합이 점이라고 생각), 2) 1차원 공간에서는 Span이 하나의 선이 됨(화살표라고 생각)

3차원에서 2개의 vector을 이용한다면 span은 원점을 지나는 평평한 평면이 될 것이다.
3차원에서 3개의 vector을 이용하면 대부분의 경우 span은 3차원 공간을 모두 표시가능
- 2개의 scalar를 고정하고 나머지 하나의 scalar만 scaling하여 움직이면 평면이 축에 수직하게 이동하면서 모든 공간 지나가게 된다
단 vector의 방향이 겹치는 경우 평면이 되며 이때는 redundant한 vector가 남게 된다고 볼 수 있다.

앞에서 처럼 vector의 방향이 겹쳐 남는 vector가 생기는 경우를 linear dependent라고 함 ➡️ 백터들 중 하나가 다른 백터들의 linear combination으로 표현 가능

모든 vector의 방향이 겹치지 않으면 linear independent라고 함 ➡️ 백터들 중 하나가 다른 백터들의 linear combination으로 표현 하지 못할 때

The basis of a vector space is a set of linearly independent vecotrs that span the full space